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【中1数学】正多面体は5つしかないことを説明してみる +おまけ

この四コマを見ててふと思った。
「そういえば、正多面体が5つしかないのことの証明って知らないな。」
と、いうことで正多面体が5つしかないことの説明をしてみたいと思います(証明ではなく説明)。
Manydice

1.正多面体の条件
①.立体(三次元)である(当然だけど)。
②.全ての面が合同な正多角形である。
③.全ての頂点に3面以上の同数の面が凸に接する。

2.正多面体を作れる正多角形は?
①.1-③より、頂点に接することができる正多角形は、1つの内角の大きさが120°未満。
 120°(=正六角形)が3面接すると、ちょうど360°となり、平面上に3面が並んでしまい立体にならない。120°より大きい図形(=正七角形)を3面以上接させることができないので正六角形以上が正多面体を作ることはない。
②.よって、一つの頂点あたりに接する面は、
 A 三角形が3つ(60°×3=180°<360°)
 B 三角形が4つ(60°×4=240°<360°)
 C 三角形が5つ(60°×5=300°<360°)
 D 四角形が3つ(90°×3=270°<360°)
 E 五角形が3つ(108°×3=324°<360°)
の5つだけ。
 参考までに、三角形が6つ(60°×6=360°=360°)×、四角形が4つ(90°×4=360°=360°)×、五角形が4つ(108°×4=432°>360°)×

 と、いうことで正多面体は上記の5つしかないということになります。
 そして、それぞれの正多面体に対応させると、A正四面体、B正八面体、C正二十面体、D正六面体、E正十二面体となります。

おまけ:サイコロこぼれ話「四面サイコロの目の見方」
Tetrapod
 四面サイコロは振ると、頂点が上を向いてしまうので、他のサイコロのように目を読むことができません。なので四面サイコロの場合、1つの面に3つの数字が書かれており、底面になった面以外の3つの面に共通する数字が目となります。
 なお、「底面になった面以外の3つの面に共通する数字」と「底面にない数字」は同じなので場合によっては底面を見た方が早いかもしれません。また、僕が持っている四面サイコロに関しては、「底辺以外の3つの面の底辺上の数字」も同じなので、目を見やすくなっています。

おまけ:サイコロこぼれ話「十面サイコロ」
 上の画像には十面サイコロもあります。TRPGプレイヤーにはおなじみのサイコロですが、これは正多面体ではありませんね(正多面体の条件③、場合によっては②を満たさないので)。正五角錐を上下に組み合わせて、半分ずらしている感じです。
 これって理論上正n角錐を上下に組み合わせれば(nが奇数の場合は半分ずらす)、2n面サイコロが作れるっていうことですね。正五十角錐なら100面サイコロ。

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