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【中1数学】「近似値と有効数字」をやる前に頭に入れておいてほしいこと

 1年前の「資料の散らばりと代表値」記事の最後で、この後、「近似値」と「有効数字」というものが出てきますが、これはどうなんだ?という感じ。それはまたおいおい。と書いてあったのにその後、近似値と有効数字に関して何も書いていなかったので書きます。
 中1で習うこの問題は、いざやり方が分かってしまうと簡単なのですが、導入に苦労しているようです。と、いうことで導入時、というかそれ以前に、「これを頭に入れたうえで、近似値と有効数字の導入を聞け」というものを紹介。

数学と現実では数字の考え方が違う
 とりあえず、割と有名なジョークを1つ。


数学者と統計学者と会計士が同じ仕事に応募した。 面接官は数学者を呼び入れて、尋ねた。「二たす二は何になりますか?」
数学者は「四です」と答えた。
面接官は駄目押しした「きっかり四ですか?」
数学者は不審そうな様子で面接官を見て、答えた。「ええ。きっかり四です。」

次に面接官は統計学者を招き入れ、同じ質問をした。「二たす二は何になりますか?」
統計学者は「平均して、四。誤差10パーセントですが、でも、だいたいは四です。」

最後に面接官は会計士を呼び入れて、同じ質問をした。「二たす二は何になりますか?」
会計士は立ち上がると、ドアに鍵をかけ、シェードを下ろし、面接官の隣に座って尋ねた。
「二たす二をいくつにしたいんです?」
 【引用元】


 オチの会計士ばかり注目されていますが、数学者(数学の世界)と統計学者(現実世界?)の数字のとらえ方の違いもしっかりと表されているんですよね(もちろんジョークなので誇張表現がされていますが)。
 すなわち、数学での2は「きっかり2」であり、現実での2は「だいたい2」なのです。算数・数学で扱う2は基本的には前者の「きっかり2」であり、近似値と有効数字は後者の「だいたい2」の話なのです。

そもそも現実には近似値しかない
 ↑を読んで「でも現実世界にも『きっかり2』はあるじゃん。2人とか2cmとか。」と思う人もいると思います。
 確かに2人は2人です。しかし、2cmは本当に2cmなのでしょうか?「きっかり2cm」ということは、2.0000000000000000000000000000…(以下、無限に0が続く)cmでないといけない訳です。おそらく、その辺で買って来た鉛筆と定規でピーッと引いた2cmの線は、2.0000000000000000000000000000…(以下、無限に0が続く)cmではなく、2.005328524524557893783593434493095547…(以下、無限になんかしらの数字が続く)cmとか、2.1046859489388764400847395741192…(以下、無限になんかしらの数字が続く)cmとか、になると思います。
 しかーし、後者はともかく前者はきっかり2cmと比べて0.005cmちょっと長いだけです。0.005cmなんてどうでもいいじゃんと思いませんか?なので「ほぼきっかり2cm」と言っていい訳です。これが近似です。
 で、人数や個数と違って。長さなどの連続な物は、現実世界では逆に「きっかり2」などを取る方が不可能であり、小数点の有り無しにかかわらず、すべての値が「ほぼきっかり2」と近似されていると考えてください。
 もう一つ覚えてほしいのは「全ての値は永遠に続く小数」だということ。数学の世界では「きっかりいくつ」に的を絞っているだけで、現実世界も数学の世界も、全ての値は小数が永遠に続いています。加えていうと、十のくらい、百のくらいなども、…000001000.0000000…と表記すればいいだけで永遠に続きます(それこそ永遠に書かなければいけないので大きいくらいが0ならばその0は書かないだけで)。
Forever

「スケールを考える」が「近似値と有効数字」
 ここで問題。「2cmと2.0cmは同じ長さか?」答えは「数学の世界では同じ。現実世界では同じかもしれないけど違う。」ですw
 数学の世界では同じなのは説明不要だと思います(2=2.0000…、2.0=2.0000…)。現実世界では上述の通り、「ほぼきっかり2cm」と「ほぼきっかり2.0cm」となりますね。ほぼきっかり2cmということは、「小数第一位を四捨五入して2cm」となるので、「1.5cm以上2.5cm未満」となります。そしてほぼきっかり2.0cmということは、「小数第二位を四捨五入して2.0cm」となるので、「1.95cm以上2.05cm未満」となります。つまり、数学的には同じ長さでも現実的には長さの範囲が違います(もちろん2.01cmでも2cmになる)。
 この「何cmの単位まで見ているか」が有効数字です。
 ここでもう一つジョークを。


ロイヤル・ティレル古生物学博物館のとある入場者はティラノサウルスの化石に感激し、近くにいた職員にどれくらい古いものかを訊ねたところ、職員は「あの骨格は6,500万年と3年2ヶ月18日前のものです」と答えた。「随分細かく判るんですね」と入場者が再度訊ねると、職員は「はい、私がここで働き始めたとき、当博物館の学芸員に全く同じ質問をしたら、彼は6,500万年前だ、と答えたのですが、そのときが3年2ヶ月18日前だからです」と答えたという。
 これはつまり、「100万年(?)の単位でしか見てないものに、1年、1ヵ月、1日の単位を加えているから変になる」ということですね。

まとめ(近似値・有効数字を習う前にこれを頭に入れておけ)
・数学の世界と現実世界では「2」の扱いが違う。近似値・有効数字の「2」は現実世界の「2」
・この世の値は全て永遠に続く小数であり、近似して「ほぼきっかりいくつ」としている
・長さで言えば1cmの単位まで見るか、0.1cmの単位まで見るかというのをはっきりさせるのが有効数字
 と、いう訳で、だいぶ毛色の違う内容を、中1のこのタイミングで(しかも数学で)やるのは反対だなぁ。というのが僕の意見。

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