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【中2・中3数学】グラフの変域は「女の子のWピース」で考えよ!

 中3で2次関数(原点(0,0)を必ず通るので"2乗に比例する式"とか"関数y=ax^2"とか呼ばれている)の変域をやりますが、思った以上に間違える子が多いです。
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【例題】
y=1/2x^2でxの変域が-3≦x≦4の時のyの変域は??
Peace01
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【答え】
0≦y≦8
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 (-3,9/2)を起点とすると、一度yが減少して最小値である(0,0)を通過して(4,8)へ向かいます。まさに、「一度yが減少して最小値である(0,0)を通過することに気付くかどうか」がこの問題の狙いです。が、まんまと引っかかって、この問題を9/2≦y≦8と答える子が結構います。すなわち、xの変域の両端をy=1/2x^2に代入しているだけです。
 今日はなぜこういうミスをする子がいるのか、そういうミスをしないようなこういう問題の考え方のコツを紹介したいと思います。

間違えの発端は2年の1次関数
 上記のようなミスをするのは、中2の1次関数の変域を習った時に、「yの変域は、xの変域の両端の数をyの式に代入しろ」と、覚えてしまっているからだと思います。1次関数ならxの変域の両端がyの変域の両端になるので、問題ないのです。下図は1次関数y=3x-1で、xの変域が-2≦x≦3のとき、yの変域は-7≦y≦8となり、xの変域の両端をy=3x-1に代入しただけの値になっています。
Peace02
 導入で何問か問題を解いているうちに「なーんだ、yの変域ってxの変域の両端をyの式に代入して計算した値を入れるだけじゃん!」と思う子はいるようで、「1次関数y=-3x+1で、xの変域が-2≦x≦3のとき、yの変域は?」という問いに何の疑いもなく「7≦y≦-8」と書く子もいます(○≦x≦■の左に書かれた値に対応するyの値を△≦y≦◇の左側に、右に書かれた値に対応するyの値を右側に書いてるだけ)。
 このように、「yの変域は、xの変域の両端の数をyの式に代入すればよい」と2年の1次関数の変域を習った際に覚えてしまっているせいで、2次関数の変域の問題になっても機械的にxの変域の両端の値をyの式に代入し、その結果をyの変域として答えてしまっているのだと思われます。
 つまり、2年の1次関数の変域の時点で変域の考え方を変えなければいけません。

そこで「女の子のWピース」登場
 変域を考えるときはグラフの概形を描いて考えるのが一番わかりやすいです。「っていうかグラフ描けば分かるでしょ。」と思う人もいると思いますが、グラフを描いただけではyの変域がピンとこない子はいます。おそらく、変域とグラフの関係性がイマイチつかめてないのでしょう。
 そこで登場するのが「女の子のWピース」Wピースと言ってもいろいろなWピースがありますが、ここでのWピースは下図のように1つは縦向き、もう1つは横向きのものを言います。
Gatag00009781
※写真素材はこちらからお借りしています。
 ではどのように考えるのかというと、まず、縦向きのピースでxの変域を囲います。
Peace03_2
 次に、横向きのピースでyの最大値と最小値を囲います。
Peace04_2
 そして、縦向きのピース(の延長線)と横向きのピース(の延長線)で囲んだ四角形の、左右端がxの変域で、上下端がyの変域となります。四角形内のグラフの形は関係ないので、中2の1次関数の変域の時にこれで、覚えてしまえば、中3の2次関数も、高校の2次関数や他の関数でも同じように考えることができます。
Peace05_2
 「別にピースいらないじゃん」と思われるかもしれません。実際、大事なのはピースよりも四角形で囲むことですw しかし、ちょっと変なことをして、印象付けた方がが覚えやすくないですか?思えば、中学時代の数学の先生は「マイナス×マイナス=プラス」を「マイマイプー」と言っていたのですが、それをみんなが覚えていた(お調子者が先生のモノマネをするときはこれを言っていた)ので、僕の同級生は、「マイナス×マイナス=プラス」をみんな覚えていたなぁと。

まとめ
・2次関数の変域の問題は意外と間違える生徒が多い。
・その原因は中2の1次関数の変域を習った時に、「yの変域は、xの変域の両端の数をyの式に代入しろ」と、覚えてしまっているから。
・変域の問題は上述の「Wピースの考え方」で考えるべし!
・意味の無い言葉や動作でもそれが印象に残って大事なところを覚えれたらいいよね。

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