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【中3数学】√の乗除は錬金術の如し

 前にも言ったけど、僕は塾でバイトしており中学数学を主に見ております。 中3は因数分解が終わって平方根に入ったころでしょう。平方根の概念は分かる子は分かるのですが分からない子は分からないので難しいです。
 と、いうことで√の考え方と√の乗除の時に意識するといいことを教えます。

Atenshon


√は「値が決まっている文字x」だと思えばよい
 まず、√自体に混乱してしまっている子向けに、√と向き合う方法を紹介。√は「値が決まっている文字x」だと思えばいいのです。
 平方根は「4の平方根」や「9の平方根」等、一部を除き基本的には無理数です。無理数は小数点以後永遠に不規則に数字が続くので、ある無理数を正確に書き表すことは無理です。「無理数は正確に書き表すことが無理なので無理数」と覚えましょう(本当は違う)。
 で、「書き表せないけど書き表したい・・・」そんなときに√があると便利なのです。「√5」と書くことで、本来は「2.2360679…」と永遠に書かなければいけないものがたったこれだけで書き表せるようになったわけです。
 要はπと似ています。円周率は3.14159265359…とこれまた永遠に続く無理数です(π=3.14じゃないですよ!)。「円周率を書き表すことはできない・・・でも使いたい・・・。」そんな時はπを書けばいいですよね。
 すなわち√2とは「2乗したら2になる値」を「√2」という文字に置き換えているだけなのです。「円周と直系の比」を「π」という文字に置き換えているのと同じように。それこそ、「ただし、xは2乗したら2になる値」ということを念頭に置いとけば、別に「x」でも「y」でも好きな文字に置き換えていいのです。でもだったら「xは2乗したら2になる値」の2がインデックスになっている「√2」の方がスマートですよね。

√の乗除は理解・分解・再構築
 それでは本題。√の乗除の問題は大きく分けて4パターンあります。
1.√n×√mを√(n×m)にして計算するパターン
2.√(n/m)を(√n)/(√m)にして計算するパターン
3.√n×√mを(a√b)×(c√d)にして、(a×c)√(b×d)と計算するパターン
4.√n×√mを√p×√q×√r×√s×…にして計算するパターン

この4つの中のどのパターンかを推測するのが理解です。実は3番と4番は同じだったりします。
 見分け方の目安としては2番は完全い別物なのでスルー。1番でやってみて(n×m)が大きくなりすぎると感じたら3番。3番にしてもまだ大きいと感じたら(√nがa√bに変換できない等)、4番という感じです。そして3番、4番の場合分解をします。4番で√n×√mを√p×√q×√r×√s×…と分解すると√nから√pが1個、√mから√pが1個でてきたりします。すると√p×√pなのでpとなります。このように計算し、u√vの形に戻します。これが再構築です。
 この、4番パターンの√n×√mを√p×√q×√r×√s×…に分解、√nと√m両方から出てきた√pをpにする(もしくは約分して1にする)。余った√達を計算してu√vの形に再構築して終了。の流れがさながら錬金術師の如し。ルートの錬金術師ですわ。
 パターン3だとできない(やりづらい)計算も、パターン4にすれば解けます。パターン3はパターン4より分解が甘い感じです。逆に、パターン1で計算し、大きい数字を素因数分解して再構築することでゴリ押しで答えを出すことも可能です。が、大きい数字になる掛け算が100%成功できますか?大きい数字の素因数分解が100%成功できますか?

まとめ
・√はπと同じで「書き表せない無理数を書き表す為の文字」でしかない。
・√の乗除はの計算法は大きく分けて4パターン。
・パターンを理解し、√を分解し計算し、u√vの形に再構築して計算終了。さながら錬金術師の如し。

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