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【中1数学】なぜ錐の体積は柱の1/3なのか

 そろそろ中1は数学で空間図形をやっている時期だと思います。そこで問題になるのが錐の体積。
錐の体積の公式は、V S:底面積 h:高さ
ですね。
 柱の体積はV=Shなので、同じ底面・高さであるならば、錐の体積は柱の体積の丁度1/3ということになります。
 そこで中1には「なんで1/3なの?」という疑問が生じます。「なんで?」と言われたら「そういうもんだから」としか言えませんが、どう説明したらいいのか。
 教科書には同じ底面・同じ高さの柱と錐の容器に水や砂(?)を入れて1/3になることを示している写真がありますが、にわかに信じがたい。実際僕も「本当は1/3.06とか1/297なんだけど、楽にするために1/3としてるんじゃないの?」と思っていました。「同じ底面、同じ高さの柱と錐をイメージしてごらん。丁度1/3っぽいでしょ?」と言われてもやっぱり、1/3.00となると、思えません。
 実は1/3になることを示すには積分という高校数学の話をしなければいけません。
 と、いうことで今日は錐の体積が柱の体積の1/3になることを中1でも理解できるように説明したいと思います。

※ここからは半径3、高さ6の円錐について話します。

積分とは「分割」「近似」「総和」
 さて、上述の通り、円錐の体積が円柱の体積の1/3になることを説明するには高校数学の積分の話をしなければなりませんが、積分を中1に理解してもらうのは難しいです。と、いうことでなんちゃって積分で説明します。
 積分というのは「分割」して、「近似」して、「それらをすべて足す(総和)」というものです。これを円錐の体積を求める際に利用すると、「円錐を分割(輪切り)」して、「円柱に近似」して、「それらの体積をすべて足す」ということになります。これだけだと、実際の円錐の体積から大きくずれてしまいます。しかし、分割数を多くする(円柱の高さ(厚さ)を小さくする)と、どんどん円錐に近づきます。徐々に小さくなる円形の薄い紙を積み重ねると円錐になることをイメージするといいと思います。
Sekibunshikumi

実際に「分割」「近似」「総和」で体積を求めてみた
 下図は半径3、高さ6の円錐の体積を求めたExcelファイルの画面です。
Excel
 公式Vで求めた円錐の体積は56.55(18π)となっています(少数第3位四捨五入、以下同様)。円錐を2分割して体積を求めた場合では、近似した円柱の体積は21.21と84.82となっており、その合計は106.03となっており、非常に大きくなっています。と、いうことで、分割数を5、10、100、1000、10000、100000に増やしてみました。すると、どんどん体積は小さくなり、100000分割時は56.55となり、公式で求めた体積と一致しました(少数第3位以下はズレがありますが”ほぼ”一致したということで)。と、いうことで、円錐の体積は円柱の体積の1/3ということが説明できたのではないかと思います。

 このように錐の体積は柱の体積の1/3なので、安心してVを使いましょう。球の体積が4/3になるのも同様の理由です。
 まだモヤモヤしている人は、今は「そういうもんだ」と無理やり納得しつつ、高校に入って頑張って積分を勉強してください。そういう疑問に思うことは大切だと思います。

【高校生向け?】積分で解く方法
 実際に積分で解くどうなるのかというと、まず円錐を下図のようなに、x軸とy=1/2xの直線とx=6の直線によってできる三角形の回転体と考えます。これから、積分で円錐の体積を求める式を立てるとSekibunこのようになります。この式を解くと18πが出てきます。
Highscoolstudents

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